さくらんぼのlambda日記

lambdaちっくなことからゲーム開発までいろいろ書きます。

行列の積の性質について

行列の積について勉強中なので、性質をまとめてみます。

行列の積の定義

l \times m型行列A=(a_{ij})m \times n型行列B=(b_{ij})があるとき
その、m \times n行列C=c_{ik}がそれらの積であるとき、Cの各成分は以下で求められる。

c_{ik} = \sum^{m}_{j=1}a_{ij}b_{jk}

行列の積の転置

(AB)^T = B^T A^T

行列の積のトレース

n次正方行列A=(a_{ij})に対し、対角成分の和をAのトレースと呼ぶ。
tr(A) = \sum^{n}_{i=1}a_{ii}

行列の積のトレースには以下の性質がある。

tr(AB) = tr(BA)

行列の積の結合法則

(AB)C = A(BC)

行列の積の分配法則

 A(B+C) = AB + AC (左分配法則)
 (A+B)C = AC + BC (右分配法則)

行列の積の交換法則

行列の積は交換法則は成立しない。
A = \begin{pmatrix}1 & 3 & 5 \\ 2 & 4 & 6\end{pmatrix}
B = \begin{pmatrix}1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \\ 3 & 6 & 9\end{pmatrix}

とすると
AB= \begin{pmatrix} 22 & 49 & 76 \\ 28 & 64 & 100\end{pmatrix}
しかしBAは定義できない。