さくらんぼのlambda日記

lambdaちっくなことからゲーム開発までいろいろ書きます。

行列の積の性質について

数学線形代数

行列の積について勉強中なので、性質をまとめてみます。

行列の積の定義

$l \times m$ 型行列 $A=(a_{ij})$ と $m \times n$ 型行列 $B=(b_{ij})$ があるとき
その、 $m \times n$ 行列 $C=c_{ik}$ がそれらの積であるとき、 $C$ の各成分は以下で求められる。

$c_{ik} = \sum^{m}_{j=1}a_{ij}b_{jk}$

行列の積の転置

$(AB)^T = B^T A^T$

行列の積のトレース

$n$ 次正方行列 $A=(a_{ij})$ に対し、対角成分の和を $A$ のトレースと呼ぶ。
$tr(A) = \sum^{n}_{i=1}a_{ii}$

行列の積のトレースには以下の性質がある。

$tr(AB) = tr(BA)$

行列の積の結合法則

$(AB)C = A(BC)$

行列の積の分配法則

$A(B+C) = AB + AC$ (左分配法則)
$(A+B)C = AC + BC$ (右分配法則)

行列の積の交換法則

行列の積は交換法則は成立しない。
$A = \begin{pmatrix}1 & 3 & 5 \\ 2 & 4 & 6\end{pmatrix}$
$B = \begin{pmatrix}1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \\ 3 & 6 & 9\end{pmatrix}$

とすると
$AB= \begin{pmatrix} 22 & 49 & 76 \\ 28 & 64 & 100\end{pmatrix}$
しかし $BA$ は定義できない。